1、算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。（本篇文章主要讨论时间复杂度）
2、时间复杂度
2.1 时间复杂度的定义
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
举例：
请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
时间复杂度函数：F(N)=N*N+2*N+10
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号
1、用1来代替常数,F(N)函数只有常数 O(1)
2、在运行次数中，只保留最高阶。 F(N)=N^3+N^2 --> O(N^3)
3、最高项系数化为1。F(N) = 2*N --> O(N)
注：复杂度不固定时，时间复杂度看的是最坏的情况（悲观的估算）
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
- 最好情况：1次找到
- 最坏情况：N次找到
- 平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
3、常见时间复杂度计算举例
3.1 冒泡排序的时间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
经分析的：F(N)= O(N^2)
3.2 二分查找的时间复杂度
//左闭右开
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n ;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}
//左闭右闭
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}
假设找了x次：
1*2*2*2*2......*2 = N
2^x = N
x = log2 N
最坏：O(log2 N) 简写成 log(N)
3.3 阶乘(递归)的时间复杂度
- 1、每次函数调用是O(1),那么就要看他的递归次数。
- 2、每次函数调用不是O(n),那么就看他的递归调用中次数的累加。
long long Fac(size_t N)
{
if (0 == N)
return 1;
return Fac(N - 1) * N;
}
F(N) = O(N)
3.4菲波那切数列的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。
