KMP 算法中对 next 数组的理解

next 数组的意义

此处 next[j] = k；则有 k 前面的浅蓝色区域和 j 前面的浅蓝色区域相同；

next[j] 表示当位置 j 的字符串与主串不匹配时，下一个需要和主串比较的字串位置在 next[j] 处；有下图：

若当前位置 j 与主串某一个字符不匹配，则下一次比较的是 K 与主串的当前位置，这个 K 也就是next[j]；由于两个浅蓝色区域相同，因此 K 前面的区域肯定与主串相同，不需比较；如下图：

由上图可知，K 前面的区域不需比较；

next 数组的推导

从 next 数组所表达的意义可知，我们要求 next[j]，首先要找到一个 K，这个 K 前面的浅蓝色区域和 j 前面的浅蓝色区域相同；如下图：

根据规定 next[1] = 0；接下来求其他的 next[j]；

对于 next[2] 可得其必然为 next[2] = 1；

如下图：当第二个元素不匹配时，j 将退回到 1 处进行比较，因此 next[2] 一定为 1；

接下来是一般情况的推导，此处使用递推法进行推导，即已知 next[j] 求 next[j + 1]；

若 next[j] = k 则有下图：

由于 next[j = k，可知浅蓝色部分相同；接下来分两种情况讨论；

• ch[K] == ch[j]，这种情况时，可以得到下图；

  

由图可知：对于 j + 1，能够找到一个 K + 1 使得有浅蓝色区域相同，那么当 j + 1 不匹配时，下一次将比较 K + 1 和主串；因此 next[j + 1] = K + 1 = next[j] + 1；

• ch[K] != ch[j]，这种情况就变的复杂，这也是整个 KMP 算法中最难理解的部分；

  从本节的开头可以知道，求 next[j + 1] 最关键的一点在于求 j + 1 之前有多长的后缀和前缀匹配，即找出多大的浅蓝色区域匹配；我们现在面对的图如下：

  

我们的目的是找到一个 K1 使得出现下列情况：找到 K1 使得浅蓝色部分相同；

要想浅蓝色部分相同，分为两个部分，使得 1 和 2 相同，使得 K1 和 j 相同；

想要让 1 和 2 相同是难以比较的，但是可以转化为另一个问题，如下图：

想要找出 1 和 3 相同的区域，等价与找到 1 和 2 相同的区域；为什么呢？因为 next[j] = K，因此 j 前面与 K 前面相同如下图：

这个等价关系非常重要，是这部分推导的关键；将其单独抽离出来如下图：

那么如何得到 K1 使得 1 和 2 相同呢？回到文首 next[j] 所表示的意义，next[j] = k；则有 k 前面的浅蓝色区域和 j 前面的浅蓝色区域相同 而 next[K] 是在 j 前面的是已知的，因此可得 K1 = next[K]，此时得到的 K1 即可满足 1 和 3 相同；

到此就解决了 1 和 3 相等的问题，直接比较 K1 和 j 若两者相同，则可得到下图；

那么 next[j + 1] = K1 + 1 = next[K] + 1 = next[next[j]] + 1；

那么若 ch[j] != ch[K1] 呢？那么就又演化为如下问题：

这个图和本小节开始的图相同，那么按照此方法解决即可；

可得结果：next[j + 1] = next[K1] + 1 = next[next[K]] + 1 = next[next[next[j]]] + 1

若下一次 K2 依然和 j 不相等，那么又接着递归即可；一直到 Kn = 0；

一个例子

接下来使用上面的结论来计算一个字符串的 next 数组；

有数组 ababaaababaa 转化为如下表：

按如下顺序填表的 next 栏：

• 对于 next[1] 规定为 0，根据前面的分析：next[2] = 1；
• 对于 next[3]，则观察 2 和 next[2] = 1，即 b 和 a，不相等；而next[next[2]] = 0，因此 next[3] = 1；
• 对于 next[4]，观察 3 和 next[3] = 1，即 a 和 a，相等，故 next[4] = next[3] + 1 = 2；
• 对于 next[5]，观察 4 和 next[4] = 2，即 b 和 b，相等，故 next[5] = next[4] + 1 = 3；
• 对于 next[6]，观察 5 和 next[5] = 3，即 a 和 a，相等，故 next[6] = next[5] + 1 = 4；
• 对于 next[7]，观察 6 和 next[6] = 4，即 a 和 b，不相等，next[next[6]] = 2，与 6 比较即 b 和 a，不相等，继续递归 next[next[next[6]]] = next[next[4]] = next[2] = 1；比较 1 和 6 即 a 和 a，相等，因此 next[6] = next[next[next[6]] + 1 = 2；
• 对于 next[8]，观察 7 和 next[7] = 2，即 a 和 b，不相等，next[next[7]] = 1，1 和 7相等，因此 next[8] = next[next[7]] + 1 = next[2] + 1 = 2；
• 对于 next[9]，观察 8 和 next[8] = 2，即 b 和 b，相等，故 next[9] = next[8] + 1 = 3；
• 对于 next[10]，观察 9 和 next[9] = 1，即 a 和 a，相等，故 next[10] = next[9] + 1 = 4；
• 对于 next[11]，观察 10 和 next[10] = 2，即 b 和 b，相等，故 next[11] = next[10] + 1 = 5；
• 对于 next[12]，观察 11 和 next[11] = 3，即 a 和 a，相等，故 next[12] = next[11] + 1 = 6；

代码实现

通过以上分析得到的获取 next 数组的代码如下：

void get_next(String T, int next[]) {
    int k = 0, j = 1;
    next[1] = 0;
    while (j < T.length)
    {
        if(k == 0 || T.ch[k] == T.ch[j]) {
            k++;
            j++;
            next[j] = k;
        } else {
            k = next[k];
        }
    }
}

那么接下来的 KMP 算法代码就比较容易了：

int KMP(String S, String T, int next[]) {
    int i = 1, j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length)
    {
        if(j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j]) {
            i++;
            j++;
        } else {
            j = next[j];
        }
    }
    if(j > T.length) {
        return i - T.length;
    } else {
        return 0;
    }
}

测试代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX = 255;
typedef struct {
    char ch[MAX];
    int length;
} String;

void InitiString(String &s, char chars[]) {
    int len = 0;
    while(chars[len] != '\0') {
        s.ch[len + 1] = chars[len];
        len++;
    }
    s.length = len;
}

void get_next(String T, int next[]) {
    int k = 0, j = 1;
    next[1] = 0;
    while (j < T.length)
    {
        if(k == 0 || T.ch[k] == T.ch[j]) {
            k++;
            j++;
            next[j] = k;
        } else {
            k = next[k];
        }
    }
}

int KMP(String S, String T, int next[]) {
    int i = 1, j = 1;
    while (i <= S.length && j <= T.length)
    {
        if(j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j]) {
            i++;
            j++;
        } else {
            j = next[j];
        }
    }
    if(j > T.length) {
        return i - T.length;
    } else {
        return 0;
    }
}

int main() {
    char char1[20] = "aabaabaabaac";
    char char2[20] = "aabaac";
    String S, T;
    InitiString(S, char1);
    InitiString(T, char2);
    int next[MAX];
    get_next(T, next);
    int index  = KMP(S, T, next);
    printf("%d", index);
    return 0;
}

输出结果：

7