漫步微积分六——极限的概念

L
$L$，我们说$x$趋近

a
$a$时$f(x)$没有极限，或者

limx→af(x)
$\lim_{x\to a}f(x)$ 不存在。另一种和(1)等价且被广泛使用的符号是

$$f(x)\to L\quad as \quad x\to a$$ 现在考虑(1)式的意义，

x
$x$等于$a$时

f(x)
$f(x)$会如何是没有意义的；而对于

x
$x$接近$a$时的

f(x)
$f(x)$值才是有意义的，理解这一点非常重要。

对于(1)式来说，这些非正式的描述对我们直观的理解非常有利，并且对于实际需求也足够了。然而，作为定义，他们又不严谨也不精确，因为有越来越接近和趋近这样的含糊用语。(1)式的精确意义非常重要，所以我们不能只留给学生去想象。我们尽可能简洁又清晰的给出一个令人满意的定义。接下来的部分，阅读的时候最好比平时更仔细些，及饬令他们自然的不耐烦用什么似乎是过度的挑剔的精度。

首先分析一个具体的实例，希望从中可以提取出通用情况的本质

$$\lim_{x\to 0}\frac{2x^2+x}{x}=1$$ 这里我们必须验证的函数是

$$y=f(x)=\frac{2x^2+x}{x}$$ 这个函数在

x=0
$x=0$处无定义，除了

x≠0
$x\neq 0$外的所有

x
$x$，化简表达式的

$$f(x)=\frac{x(2x+1)}{x}=2x+1.$$ 从图2中，我们可以清楚的看到，当

x
$x$趋近于$0$时，

f(x)
$f(x)$ 趋近于

1
$1$。为了给出定量的描述，我们需要$f(x)$与极限值

1
$1$之差的公式：

$$f(x)-1=(2x+1)-1=2x.$$

图2