[重读微积分]一 理解极限，本系列所有代码都用R语言完成。
5 洛必达法则
令
N
N
N为常数，则常规的极限运算大致有以下几种
∞
±
N
=
∞
∞
⋇
N
=
∞
(
N
≠
0
)
N
∔
∞
=
∞
N
−
∞
=
−
∞
N
/
∞
=
0
±
N
/
0
=
±
∞
N
∞
=
∞
(
N
≠
1
)
∞
N
=
∞
(
N
≠
0
)
\begin{matrix} &\infty\pm N=\infty\quad&\infty\divideontimes N=\infty(N\not =0)& N\dotplus\infty=\infty\\ &N-\infty=-\infty& N/\infty=0& \pm N/0=\pm\infty\\ &N^\infty=\infty(N\not=1)\quad&\infty^N=\infty(N\not=0) \end{matrix}
∞±N=∞N−∞=−∞N∞=∞(N=1)∞⋇N=∞(N=0)N/∞=0∞N=∞(N=0)N∔∞=∞±N/0=±∞
常规之外，就要通过洛必达法则来处理
0
0
,
∞
∞
,
0
⋅
∞
,
∞
−
∞
,
0
0
,
∞
0
,
1
∞
\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty
00,∞∞,0⋅∞,∞−∞,00,∞0,1∞
对于
0
0
,
∞
∞
\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}
00,∞∞而言，洛必达法则在形式上可以表示为
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)
理解洛必达法则可从幂函数入手，假设
f
(
x
)
=
x
n
f(x)=x^n
f(x)=xn，
g
(
x
)
=
x
m
g(x)=x^m
g(x)=xm，则
f
(
x
)
g
(
x
)
=
x
n
−
m
\frac{f(x)}{g(x)}=x^{n-m}
g(x)f(x)=xn−m。当
x
→
0
x\to0
x→0时，若
n
−
m
>
0
n-m>0
n−m>0，则极限为无穷大，否则极限为0。
所以，尽管二者都为0，但0和0也有不同。问题是这种不同是否明显？如果定义域在
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1]这个区间，的确看不出太多的区别
x = seq(-1,1,0.01) #生成等差数列
plot(x,x^2,type='l')
lines(x,x^3)
lines(x,x^4)
lines(x,x^5)
lines(x,x^6)
然而随着我们缩小坐标的尺度，区别就变得明显起来
> x = seq(-0.1,0.1,0.001)
> plot(x,x^2,type='l')
> lines(x,x^3)
这意味着越是逼近0，不同阶数的幂函数将渐行渐远，回顾极限的定义，对于
lim
x
→
0
x
3
x
2
=
0
\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=0
x→0limx2x3=0
意味着对于任意小的
ε
\varepsilon
ε，均能找到一个
X
X
X，当
x
∈
[
0
,
X
]
x\in[0,X]
x∈[0,X]时，有
x
3
x
2
<
ε
\frac{x^3}{x^2}<\varepsilon
x2x3<ε，这是显然的。
而我们之所以觉得“显然”，是因为我们接受了大量的指数运算的训练，而指数之间的运算又基于一条更简单的规则
x
n
x
=
x
n
−
1
\frac{x^n}{x}=x^{n-1}
xxn=xn−1。或许其真正的运算过程为
x
3
x
2
=
x
3
x
x
2
x
=
x
2
x
=
x
\frac{x^3}{x^2}=\frac{\frac{x^3}{x}}{\frac{x^2}{x}}=\frac{x^2}{x}=x
x2x3=xx2xx3=xx2=x
受到这种运算形式的启发，对于一个相对复杂的表达式，或许可以对上式进行一点更改
lim
x
→
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
0
f
(
x
)
−
0
x
g
(
x
)
−
0
x
=
0
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to0}\frac{\frac{f(x)-0}{x}}{\frac{g(x)-0}{x} }=0
x→0limg(x)f(x)=x→0limx<
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