一、图像数字化

通过传感器获得的图像是平面坐标(x,y)的连续函数f(x,y)，它的值图像对应位置的亮度。为了能够让计算机来处理，需要对图像进行采样，并且对亮度值进行量化。

1、采样。对连续函数f(x,y)进行采样，就是分别对x轴和y轴，按照固定间隔取值，得到平面坐标上的M×N个点，将其函数值作为元素生成M行N列的矩阵。

2、量化亮度值。将f(x,y)的值转化为等价的整数值的过程称为量化，量化的级别越高，图像越细致。通常将亮度值表示为0-255之间的整数。

这样，在计算机中通常以矩阵表示数字图像，矩阵的元素对应图像的亮度信息。

二、距离

满足以下三个条件的函数$D$称作距离：
(1)同一性：$$D(p,q)\ge 0。当且仅当p=q时，D(p,q)=0。$$

(2)对称性：$$D(p,q)=D(q,p)。$$

(3)三角不等式：$$D(p,r)\le D(p,q)+D(q,r)。$$

数字图像的距离有多种定义方式，包括欧式距离、城市街区距离、棋盘距离等。以下以两坐标点$a=(i,j)$和$b=(k,l)$的距离为例，来说明各种距离的定义方式。

欧式距离$D_e$就是通常所说的距离，它定义为
$$D_e(a,b)=\sqrt{((i-k{)}^2)+(j-l{)}^2}$$

欧式距离在事实上比较直观，但是平方根计算比较费时，且距离可能不是数。

城市街区距离$D_4$，它定义为在只允许横向和纵向运动的情况下，从起点到终点的移动步数。用公式表示为
$$D_4(a,b)=|i-k|+|j-l|$$

符号$D_4$中的$4$表示在这种定义下，像素点是$4$邻接的，即每个点只与它的上、下、左、右相邻的$4$个点之间的距离为$1$。

如果允许横向、纵向和沿对角线方向移动，则可以得到棋盘距离$D_8$的定义
D 8 ( a , b ) = m a x { ∣ i − k ∣ , ∣ j − l ∣ } D_8(a,b)=max\{|i-k|,|j-l|\}D8(a,b)=max{∣i−k∣,∣j−l∣}

符号$D_8$中的$8$表示在这种定义下，像素点是$8$邻接的，即每个点只与它的上、下、左、右、四个对角线方向相邻的$8$个点之间的距离为$1$。

显然，以上三种距离的定义都满足距离的定义条件。

三、距离变换

距离变换也叫作距离函数或者斜切算法。它是距离概念的一个应用，图像处理的一些算法以距离变换为基础。距离变换描述的是图像中像素点与某个区域块的距离，区域块中的像素点值为0，临近区域块的像素点有较小的值，离它越远值越大。

以二值图像为例，其中区域块内部的像素值为1，其他像素值为0。距离变换给出每个像素点到最近的区域块边界的距离，区域块内部的距离变换结果为0。输入图像如图1所示，D4距离的距离变换结果如图2所示。

下面来讨论距离变换算法，其核心是利用两个小的局部掩膜遍历图像。第一遍利用掩模1，左上角开始，从左往右，从上往下。第二遍利用第二个掩模，右下角开始，从右往左，从下往上。掩模形状如下图所示：

按照某种距离（如：$D_4$距离或$D_8$距离）对大小为$M\times N$的图像中的区域块作距离变换，算法过程如下：

1、建立一个大小为$M\times N$的数组$F$，作如下的初始化：将区域块中的元素设置为$0$，其余元素设置为无穷；

2、利用掩模1（mask1），左上角开始，从左往右，从上往下遍历数组，将掩模中P点对应的元素的值作如下更新：
F ( P ) = m i n q ∈ m a s k 1 { F ( P ) , D ( P , q ) + F ( q ) } F(P)=\underset{{q\in mask1}}{min}\{F(P),D(P,q)+F(q)\}F(P)=q∈mask1min{F(P),D(P,q)+F(q)}

3、利用掩模2（mask2），右下角开始，从右往左，从下往上遍历数组，将掩模中P点对应的元素的值作如下更新：
F ( P ) = m i n q ∈ m a s k 2 { F ( P ) , D ( P , q ) + F ( q ) } F(P)=\underset{{q\in mask2}}{min}\{F(P),D(P,q)+F(q)\}F(P)=q∈mask2min{F(P),D(P,q)+F(q)}

最终得到的更新后的数组即为距离变换的结果。

这个算法过程在图像编边界需要做出调整，因为在边界处，掩模不能全部覆盖图像，这时可以将掩模中没有对应元素的位置的值当作0来处理。

四、OpenCV代码实现

这个算法过程经过很多的改进，但基本原理并没有区别。开源计算机视觉库OpenCV中，距离变换算法有相应的实现，声明如下：

CV_EXPORTS_W void distanceTransform( InputArray src, OutputArray dst,
                                     int distanceType, int maskSize, int dstType=CV_32F);

参数详解：

• InputArray src：输入图像，一般为二值图像；
• OutputArray dst：输出的图像，距离变换结果；
• int distanceType：用于距离变换的距离类型（欧氏距离：DIST_L2 = 2；$D_4$距离：DIST_L1 = 1；$D_8$距离：DIST_C = 3等）；
• int mask_size：距离变换掩模的大小，一般为3或5；
• int dstType：输出图像的数据类型，可以为CV_8U或CV_32F。

下面我们用一个具体的例子来展示距离变换的效果。将大小为$480\times 480$，其中有三个像素点设置为1，其余都为0的一张图片作为输入图像，分别在欧式距离、$D_4$距离和$D_8$距离下，距离变换的结果。

效果如下图所示：

下面是代码实现：

#include<opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
using namespace std;

int main()
{
    //初始化输入图像和变换结果图像
    Mat mat(480, 480, CV_8UC1, Scalar(0)), transMatE, transMatD4, transMatD8;

    //给输入图像指定三个像素点作为距离变换原点(区域块)
    mat.at<uchar>(100, 200) = 1;
    mat.at<uchar>(200, 100) = 1;
    mat.at<uchar>(300, 300) = 1;

    //将将输入图像中1和0调换，使得原点距离为0
    mat = 1 - mat;

    //显示原始图像(显示为黑色)
    imshow("原始图片", mat);

    //分别利用欧式距离、D4距离和D8距离作距离变换，将结果存入transMatD4、transMatD8和transMatE
    distanceTransform(mat, transMatE, DIST_L2, 0);
    distanceTransform(mat, transMatD4, DIST_L1, 0, CV_8U);
    distanceTransform(mat, transMatD8, DIST_C, 0);

    //欧式距离与D8距离作变换后，值为32位浮点数，以下代码将其值转为uchar类型
    transMatE.convertTo(transMatE, CV_8U);
    transMatD8.convertTo(transMatD8, CV_8U);

    //显示距离变换结果
    imshow("欧式距离变换后的图片", transMatE);
    imshow("D4距离变换后的图片", transMatD4);
    imshow("D8距离变换后的图片", transMatD8);


    waitKey();

    return 0;