math_周期/三角函数系/傅里叶级数展开

三角函数系和傅里叶级数(fourier series)

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• 傅里叶级数 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

三角函数系

• 1 , { s i n ( n x ) } , { c o s ( n x ) } = 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , s i n 3 x , c o s 3 x , . . . 1,\{sin(nx)\},\{cos(nx)\}=1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x,... 1,{sin(nx)},{cos(nx)}=1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x,...

  • $cos(nx)是偶函数$
  • $sin(nx)是奇函数$

• 利用三角函数系的正交性质等式组,并结合积分计算,可以得出傅里叶级数展开公式的系数公式

  • $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx,(n=0,1,2,...)$
  • $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx,(n=1,2,3,...)$

周期为$2\pi$的函数的fourier级数展开公式

• $一个定义在(-\infty ,+\infty )内周期为2\pi 的函数,如果他在一个周期上可积分,那么就可以作出f(x)的傅里叶级数$

• 	$f(x)是奇函数$	$f(x)是偶函数$
  $a_n,n=0,1,2,...$	0	$\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x)cos(nx)dx$
  $b_n,n=1,2,3,...$	$\frac{2}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x)sin(nx)dx$	0
  $fourier展开$	$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin(nx)$	$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(nx)$

  • $$\begin{gathered} 需要注意的是,f(x)必须有对称的定义域才可以使用上述公式, \\ 而不能够仅仅判断f(-x)=\pm f(x)就认为f(x)是奇函数/偶函数 \end{gathered}$$

  • 另外注意这里的积分限${\int }_0^{\pi }$不同于一般公式中的${\int }_{-\pi }^{\pi }$

奇偶延拓和周期延拓

• 不过,有时候$f(x)$没有现成的关于原点对称的定义域,却可以认为的修补出定义域(例如奇延拓和偶延拓,$具有理想定义域(-\pi ,\pi )的新函数F(x)$

$$\begin{gathered} 将F(x)做fourier展开, \\ 再把x范围限制回f(x)原来的定义域(比如[0,\pi ]), \\ 可以得到f(x)的正弦级数/余弦级数 \end{gathered}$$

• 周期延拓

  • 例如 , 对于 f ( x ) = x 2 , x ∈ [ 0 , π ] , 那么可以对就行进行延拓 , 得到 ϕ ( x ) , 是一个奇函数或者偶函数 ( 定义域是一个周期 , [ − π , π ] ) 再对 ϕ ( x ) 进行周期延拓 , 得到 ω ( x ) , ω ( x ) 的定义域包含 n 个周期