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math_周期/三角函数系/傅里叶级数展开
三角函数系和傅里叶级数(fourier series)
ref
三角函数系
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1 , { s i n ( n x ) } , { c o s ( n x ) } = 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , s i n 3 x , c o s 3 x , . . . 1,\{sin(nx)\},\{cos(nx)\}=1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x,... 1,{sin(nx)},{cos(nx)}=1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,sin3x,cos3x,...
- c o s ( n x ) 是偶函数 cos(nx)是偶函数 cos(nx)是偶函数
- s i n ( n x ) 是奇函数 sin(nx)是奇函数 sin(nx)是奇函数
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利用三角函数系的正交性质等式组,并结合积分计算,可以得出傅里叶级数展开公式的系数公式
- a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x ) d x , ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)cos(nx)dx,(n=0,1,2,...) an=π1∫−ππf(x)cos(nx)dx,(n=0,1,2,...)
- b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x ) d x , ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) b_n=\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)sin(nx)dx},(n=1,2,3,...) bn=π1∫−ππf(x)sin(nx)dx,(n=1,2,3,...)
周期为 2 π 2\pi 2π的函数的fourier级数展开公式
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一个定义在 ( − ∞ , + ∞ ) 内周期为 2 π 的函数 , 如果他在一个周期上可积分 , 那么就可以作出 f ( x ) 的傅里叶级数 一个定义在(-\infin,+\infin)内周期为2\pi的函数,如果他在一个周期上可积分,那么就可以作出f(x)的傅里叶级数 一个定义在(−∞,+∞)内周期为2π的函数,如果他在一个周期上可积分,那么就可以作出f(x)的傅里叶级数
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f ( x ) 是奇函数 f(x)是奇函数 f(x)是奇函数 f ( x ) 是偶函数 f(x)是偶函数 f(x)是偶函数 a n , n = 0 , 1 , 2 , . . . a_n,n=0,1,2,... an,n=0,1,2,... 0 2 π ∫ − π 0 f ( x ) c o s ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)cos(nx)dx π2∫−π0f(x)cos(nx)dx b n , n = 1 , 2 , 3 , . . . b_n,n=1,2,3,... bn,n=1,2,3,... 2 π ∫ − π 0 f ( x ) s i n ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)sin(nx)dx π2∫−π0f(x)sin(nx)dx 0 f o u r i e r 展开 fourier展开 fourier展开 ∑ n = 1 ∞ b n s i n ( n x ) \sum\limits_{n=1}^{\infin}b_nsin(nx) n=1∑∞bnsin(nx) a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n x ) \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infin}a_ncos(nx) 2a0+n=1∑∞ancos(nx) -
需要注意的是 , f ( x ) 必须有对称的定义域才可以使用上述公式 , 而不能够仅仅判断 f ( − x ) = ± f ( x ) 就认为 f ( x ) 是奇函数 / 偶函数 需要注意的是,f(x)必须有对称的定义域才可以使用上述公式, \\而不能够仅仅判断f(-x)=\pm f(x)就认为f(x)是奇函数/偶函数 需要注意的是,f(x)必须有对称的定义域才可以使用上述公式,而不能够仅仅判断f(−x)=±f(x)就认为f(x)是奇函数/偶函数
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另外注意这里的积分限 ∫ 0 π \int_{0}^{\pi} ∫0π不同于一般公式中的 ∫ − π π \int_{-\pi}^{\pi} ∫−ππ
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奇偶延拓和周期延拓
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不过,有时候 f ( x ) f(x) f(x)没有现成的关于原点对称的定义域,却可以认为的
修补
出定义域(例如奇延拓
和偶延拓
, 具有理想定义域 ( − π , π ) 的新函数 F ( x ) 具有理想定义域(-\pi,\pi)的新函数F(x) 具有理想定义域(−π,π)的新函数F(x)
将 F ( x ) 做 f o u r i e r 展开 , 再把 x 范围限制回 f ( x ) 原来的定义域 ( 比如 [ 0 , π ] ) , 可以得到 f ( x ) 的正弦级数 / 余弦级数 将F(x)做fourier展开, \\再把x范围限制回f(x)原来的定义域(比如[0,\pi]), \\可以得到f(x)的正弦级数/余弦级数 将F(x)做fourier展开,再把x范围限制回f(x)原来的定义域(比如[0,π]),可以得到f(x)的正弦级数/余弦级数
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周期延拓
- 例如 , 对于 f ( x ) = x 2 , x ∈ [ 0 , π ] , 那么可以对就行进行延拓 , 得到 ϕ ( x ) , 是一个奇函数或者偶函数 ( 定义域是一个周期 , [ − π , π ] ) 再对 ϕ ( x ) 进行周期延拓 , 得到 ω ( x ) , ω ( x ) 的定义域包含 n 个周期