准备

噪声是在拟合过程中常用的干扰手段，常用的噪声：

1. 统一分布 U(a,b)
   $$f(x)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}1& ifa\le x<b\\ 0& other\end{array}\end{array}$$

import numpyas np
x=np.random.uniform(a,b,100)#产生长度为100的U(a,b)

2. 正态分布N($\mu$,${\sigma }^2$)
   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

import numpyas np
x=np.random.normal(mu, sig,100)#产生长度为100的N(mu, sqart(sig))

三次样条插值

defspline_fit():
	size=20
    x= np.linspace(-10,10, size)
    y= np.sin(x)+ np.random.normal(0,0.1, size)
    y2=[0]*len(y)# for y_i in y:

    pp.plot(x, y)
    cs= CubicSpline(x, y)
    x2= x= np.linspace(-10,10, size*100)
    pp.plot(x2, cs(x2))
    pp.show()

最小二乘拟合

defleast_square():
    f=lambda p0, xx: p0[0]* np.sin(xx* p0[1])+ p0[2]
    LEN=100
    x= np.linspace(-1,1, LEN)
    y= x**2+5# 默认情况，param只会返回求得的参数和返回的错误码，1-4为成功，5-8为失败，如果想输出更多参数，可以指定full_out=1，可以看到出错原因和其他参数
    param= leastsq(lambda p0, xx, yy: f(p0, xx)- yy,(1,1,1), args=(x, y))#初值的选择比较重要，如果选取不当，容易陷入局部最优print(param)
    pp.scatter(x, y)
    p0= param[0]
    pp.plot(x, f(p0, x))
    pp.show()

最小二乘的初值选取非常重要，以下是三份完全相同的数据，虽然最后都收敛了，但是初值不同，得到了完全不同的拟合结果
初值为$(1,2,1)$

初值为$(1,1,1)$

初值为$(10,10,1)$

拉格朗日乘子法

deflagrange()from scipy.optimizeimport minimizeimport numpyas np
    e=1e-10
    fun=lambda x:8*(x[0]* x[1]* x[2])# f(x,y,z) =8 *x*y*z
    cons=({'type':'eq','fun':lambda x: x[0]**2+ x[1]**2+ x[2]**2-1},# x^2 + y^2 + z^2=1{'type':'ineq','fun':lambda x: x[0]- e},# x>=e等价于 x > 0{'type':'ineq','fun':lambda x: x[1]- e},{'type':'ineq','fun':lambda x: x[2]- e})
    x0= np.array((1.0,1.0,1.0))# 设置初始值
    res= minimize(fun, x0, method='SLSQP', constraints=cons)print('最大值：', res.fun)print('最优解：', res.x)print('迭代终止是否成功：', res.success)print('迭代终止原因：', res.message)