正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
正太性检验
利用观测数据判断总体是否服从正态分布的检验称为正态性检验，它是统计判决中重要的一种特殊的拟合优度假设检验。
直方图初判 / QQ图判断 / K-S检验
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
% matplotlib inline直方图初判
s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])
print(s.head())
# 创建随机数据
fig = plt.figure(figsize = (10,6))
ax1 = fig.add_subplot(2,1,1) # 创建子图1
ax1.scatter(s.index, s.values)
plt.grid()
# 绘制数据分布图
ax2 = fig.add_subplot(2,1,2) # 创建子图2
s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
plt.grid()
# 绘制直方图
# 呈现较明显的正太性
这里的直方图呈现出非常明显的正态分布特性。
QQ图判断
# QQ图通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较，从而来检验数据的分布情况
# QQ图是一种散点图，对应于正态分布的QQ图，就是由标准正态分布的分位数为横坐标，样本值为纵坐标的散点图
# 参考直线：四分之一分位点和四分之三分位点这两点确定，看散点是否落在这条线的附近
# 绘制思路
# ① 在做好数据清洗后，对数据进行排序（次序统计量：x(1)<x(2)<....<x(n)）
# ② 排序后，计算出每个数据对应的百分位p{i}，即第i个数据x(i)为p(i)分位数，其中p(i)=(i-0.5)/n （pi有多重算法，这里以最常用方法为主）
# ③ 绘制直方图 + qq图，直方图作为参考
s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])
print(s.head())
# 创建随机数据
mean = s['value'].mean()
std = s['value'].std()
print('均值为：%.2f，标准差为：%.2f' % (mean,std))
print('------')
# 计算均值，标准差
s.sort_values(by = 'value', inplace = True) # 重新排序
print(s.head())
s_r = s.reset_index(drop = False) # 重新排序后，更新index
print("----------\n", s_r.head())
s_r['p'] = (s_r.index - 0.5) / len(s_r)
s_r['q'] = (s_r['value'] - mean) / std
print(s_r.head())
print('------')
# 计算百分位数 p(i)
# 计算q值
# st = s['value'].describe()
# x1 ,y1 = 0.25, st['25%']
# x2 ,y2 = 0.75, st['75%']
# print('四分之一位数为：%.2f，四分之三位数为：%.2f' % (y1,y2))
# print('------')
# # 计算四分之一位数、四分之三位数
# fig = plt.figure(figsize = (10,9))
# ax1 = fig.add_subplot(3,1,1) # 创建子图1
# ax1.scatter(s.index, s.values)
# plt.grid()
# # 绘制数据分布图
# ax2 = fig.add_subplot(3,1,2) # 创建子图2
# s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
# s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
# plt.grid()
# # 绘制直方图
# ax3 = fig.add_subplot(3,1,3) # 创建子图3
# ax3.plot(s_r['p'],s_r['value'],'k.',alpha = 0.1)
# ax3.plot([x1,x2],[y1,y2],'-r')
# plt.grid()
# # 绘制QQ图，直线为四分之一位数、四分之三位数的连线，基本符合正态分布
KS检验，理论推导
使用K-S检验一个数列是否服从正态分布、两个数列是否服从相同的分布
https://www.cnblogs.com/chaosimple/p/4090456.html
使用K-S检验一个数列是否服从正态分布、两个数列是否服从相同的分布
data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
76,77,78,92,75,80,78]
# 样本数据，35位健康男性在未进食之前的血糖浓度
df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
u = df['value'].mean()
std = df['value'].std()
print("样本均值为：%.2f，样本标准差为：%.2f" % (u,std))
print('------')
# 查看数据基本统计量
s = df['value'].value_counts().sort_index()
df_s = pd.DataFrame({'血糖浓度':s.index,'次数':s.values})
# 创建频率数据
df_s['累计次数'] = df_s['次数'].cumsum()
df_s['累计频率'] = df_s['累计次数'] / len(data)
# len(data)
df_s['标准化取值'] = (df_s['血糖浓度'] - u) / std
df_s['理论分布'] =[0.0244,0.0968,0.2148,0.2643,0.3228,0.3859,0.5160,0.5832,0.7611,0.8531,0.8888,0.9803] # 通过查阅正太分布表
df_s['D'] = np.abs(df_s['累计频率'] - df_s['理论分布'])
dmax = df_s['D'].max()
print("实际观测D值为：%.4f" % dmax)
# D值序列计算结果表格
df_s['累计频率'].plot(style = '--k.')
df_s['理论分布'].plot(style = '--r.')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.grid()
# 密度图表示
df_s
下面是正态分布表和显著性对照表
因为样本数为35，大于30且小于50，所以p值在这个区间
另外的，由于D值为0.1597. 大于0.158，小于0.197，且样本数量接近于30.所以我们可以认为P值的取值区间在0.20 - 0.40
满足p > 0.05的情况，所以服从正态分布。
直接用算法做KS检验
from scipy import stats
# scipy包是一个高级的科学计算库，它和Numpy联系很密切，Scipy一般都是操控Numpy数组来进行科学计算
data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
76,77,78,92,75,80,78]
# 样本数据，35位健康男性在未进食之前的血糖浓度
df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
u = df['value'].mean() # 计算均值
std = df['value'].std() # 计算标准差
stats.kstest(df['value'], 'norm', (u, std))
# .kstest方法：KS检验，参数分别是：待检验的数据，检验方法（这里设置成norm正态分布），均值与标准差
# 结果返回两个值：statistic → D值，pvalue → P值
# p值大于0.05，为正态分布
此时，pvalue > 0.05，不拒绝原假设。因此上面的数据服从正态分布。且一般情况下， stats.kstest(df[‘value’], ‘norm’, (u, std))一条语句就得到p值的结果。