高斯模糊原理

基本概念

二维高斯模糊，或者说高斯滤波，是图像处理中非常常见的操作。操作的核心是使用一个从高斯分布中采样得到的掩膜，或者叫核，和输入图片中的每个像素及其邻域进行计算，结果保存到输出图片中。假设高斯核窗口尺寸为$(2w + 1) \times (2w + 1)$，高斯分布的标准差为$\sigma$，则高斯核可以表示为矩阵的形式

$$\mathbf G = \begin{bmatrix} G(-w, -w) &\dots &G(-w, 0) &\dots &G(-w, w)\\ \vdots &{} &\vdots &{} &\vdots\\ G(0, -w) &\dots &G(0, 0) &\dots &G(0, w)\\ \vdots &{} &\vdots &{} &\vdots\\ G(w, -w) &\dots &G(w, 0) &\dots &G(w, w) \end{bmatrix}$$
其中 $$G(u,v) = \dfrac{1}{S} \exp\left(-\dfrac{u^2}{2\sigma^2}-\dfrac{v^2}{2\sigma^2}\right)$$ 其中$u$ 表示行，$v$ 表示列，$u, v \in \{-w, -w + 1, \dots, w - 1, w\}$，$S$ 是归一化常数
$$S = \sum_{u = -w}^{w}\sum_{v = -w}^{w} \exp\left(-\dfrac{u^2}{2\sigma^2}-\dfrac{v^2}{2\sigma^2}\right)$$ 由于高斯分布的概率密度函数的非零值区间主要集中在$(-3\sigma, 3\sigma)$ 内，所以为了保证选取的高斯核的完整性，一般取$w \approx 3\sigma$。

说完了高斯核，该说高斯模糊的表达式了。设输入图片为$\mathbf X$，输出图片为$\mathbf Y$，第$i$ 行第$j$ 列的数据表示为$X(i, j)$ 和$Y(i,j)$，则使用窗口大小为$(2w + 1)\times(2w + 1)$，标准差为$\sigma$ 的高斯核计算后的结果为